Числовые последовательности. ГЕометрическая прогрессия.

прогрессии.
Тема сегодняшнего занятия - геометрическая прогрессия.

Числовая последовательность, в

которой каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется геометрической прогрессией.
Зададим нашу последовательность рекуррентно:




b и q – определенные заданные числа.
Число q называется знаменателем прогрессии.

а q=2.
Пример. 16,8,4,2,1,1/2…
Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен шестнадцати,

а q=1/2.
Пример. 8,8,8,8…
Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен восьми, а q=1.
Пример. 3,-3,3,-3,3…
Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен трем, а q=-1.

- то последовательность

возрастающая.
- то последовательность убывающая.
Последовательность принято обозначать в виде:



Так же как и в арифметической прогрессии, если в геометрической прогрессии количество элементов конечно, то прогрессия называется конечной геометрической прогрессией.



Отметим, если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов членов, так же геометрическая прогрессия. У второй последовательность первый член равен

задавать и в аналитической форме. Давайте посмотрим, как это сделать:








Мы

легко замечаем закономерность:


Наша формула называется – формулой n-ого члена геометрической прогрессии.

которой первый член равен единице, а q=2.


Пример. 16,8,4,2,1,1/2…
Геометрическая прогрессия, у

которой первый член равен шестнадцати, а q=1/2.


Пример. 8,8,8,8…
Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен восьми, а q=1.


Пример. 3,-3,3,-3,3…
Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен трем, а q=-1.

членами геометрической прогрессии равны 192, сумма пятого и шестого члена

прогрессии равна 192. Найти десятый член этой прогрессии.
Решение.
Нам известно что:

Но мы так же знаем:

Тогда:


Получили систему уравнений:

Приравняв наши уравнения получим:


Получили два решения q:
Последовательно подставим во второе уравнение:

Получили что:
Найдем десятый член:

есть конечная геометрическая прогрессия.
Давайте, так же как и для

арифметической прогрессии, посчитаем сумму ее членов.
Пусть дана конечная геометрическая прогрессия:



Введем обозначение суммы ее членов:



В случае, когда q=1. Все члены геометрической прогрессии равны первому члену и тогда очевидно, что

сумму на q.



Заметим:



Найдем:


Мы получили формулу суммы конечной геометрической прогрессии.

прогрессии, у которой первый член равен 4, а знаменатель 3.
Решение.

Пример. Найти пятый член геометрической прогрессии, у которой известно:

Решение.

нас дана геометрическая прогрессия, давайте рассмотрим три произвольных последовательных члена

прогрессии:

Мы знаем что:


Тогда:






Если прогрессия конечная, то это равенство выполняется для всех членов кроме первого и последнего.

у последовательности, но известно что:



Тогда можно смело говорить, что

это арифметическая прогрессия.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией только когда квадрат каждого члена этой прогрессии равен произведению двух соседних с ним членов нашей прогрессии. (не забываем, что для конечной прогрессии не выполняется для первого и последнего)

тождество:










Модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому двух соседних

с ним членов.

х+2;2x+2;3x+3 –три последовательных члена геометрической прогрессии.
Решение.
Воспользуемся характеристическим свойством:







Подставим последовательно в

исходные выражение, наши решения:
При x=2, получили последовательность: 4;6;9 – геометрическая прогрессия у которой q=1.5
При х=-1, получили последовательность: 1;0;0 – не является геометрической прогрессией.
Ответ: х=2.

прогрессии
16;-8;4;-2…
2. Найдите десятый член геометрической прогрессии 11,22,44…
3.
4.
5.

Найдите сумму первых 11 членов геометрической прогрессии 3;12;48…
6. Найти такие х, что 3х+4;2x+4; x+5 –три последовательных члена геометрической прогрессии.