Параллелограмм и трапеция 8 класс

изображен параллелограмм ABCD: AB||CD, AD||BC. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

B
A
C
D

противоположные углы равны.
Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. слева). Диагональ AC разделяет

его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (AC-общая сторона, 1= 2 и 3= 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD, AD и BC соответственно). Поэтому AB=CD,
AD=BC, и B= D. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем
A= 1+ 3= 2+ 4= C.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Пусть О - точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD (рис. справа). Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, 1= 2 и 3= 4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и BD соответственно). Поэтому AO=OC и OB=OD, что и требовалось доказать.

то этот четырехугольник-параллелограмм.
Пусть в четырехугольникеABCD стороны AB и

CD параллельны и AB=CD(см.рис). Проведем диагональ AC, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABC и CDA. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (AC-общая сторона, AB=CD по условию, 1= 2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC), поэтому 3= 4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и BC секущей AC, следовательно, AD||BC. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит четырехугольник ABCD-параллелограмм.

этот четырехугольник – параллелограмм.
Проведем диагональ AC данного

четырехугольника ABCD, разделяющую его на треугольники ABC и CDA (см.рис.). Эти треугольники равны по трем сторонам (AC-общая сторона, AB=CD и BC=DA по условию), поэтому 1= 2. Отсюда следует, что AB||CD. Так как AB=CD и AB||CD, то по признаку 1 четырехугольник ABCD – параллелограмм.

делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Рассмотрим четырехугольник

ABCD, в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам (см.рис.). Треугольники AOB и COD равны по первому признаку равенства треугольников (AO=OC, BO=OD по условию,
AOB= COD как вертикальные углы), поэтому AB=CD и 1= 2.
Из равенства углов 1 и 2 следует, что AB||CD.
Итак, в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны и параллельны, значит, по признаку 1 четырехугольник ABCD – параллелограмм.

другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее

основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами (рис.слева)

Основание

Основание

Боковая сторона

Боковая сторона

Трапеция называется равнобедренной , если ее боковые стороны равны (рис.посередине). Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис.справа).

Равнобедренная
трапеция

Прямоугольная
трапеция

трапеция называется равнобедренной, прямоугольной?