Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Уравнение поверхности F ( x, y, z ) =0
Содержание
- 1. Уравнение поверхности F ( x, y, z ) =0
- 2. Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному
- 3. Пусть точка М0(х0,у0,z0) лежит в плоскости. Введем
- 4. Векторы
- 5. Пример 1: Написать уравнение плоскости, проходящей через
- 6. Пример 2: Написать уравнение плоскости, проходящей через
- 7. Общее уравнение плоскостиA(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, раскроем в нем скобки
- 8. Частные случаи общего уравнения плоскости1. Пусть А=0,
- 9. Уравнения Ax+Cz+D=0 и Ax+By+D=0 выражают плоскости, параллельные
- 10. Аналогично уравнения Ax+Cz=0 и Ax+By=0 выражают плоскости,
- 11. Пример:
- 12. А=0, В=0, D=0, С≠0. Уравнение плоскости: Cz=0
- 13. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- 14. Векторы
- 15. Пример . Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1,2,1), M2(0,1,4), M3(-3,3,2).Решение: Используя полученное уравнение, имеем:Или 4х+11у+5z-31=0
- 16. Угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности
- 17. Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы
- 18. Пример: Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
- 19. .Расстояние от точки до плоскостинайти расстояние от
- 20. Пусть точка К имеет координаты х1,у1,z1Или
- 21. Учитывая это, получаем: Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)= Ax0+By0+Cz0+D.Тогда: Ax0+By0+Cz0+D= ;
- 22. Пример: Найти расстояние от точки М (-1,2,3)
- 23. Общие уравнения прямой в пространствеПрямая в пространстве
- 24. Канонические уравнения прямой в пространствеПоложение прямой
- 25. М(х,у,z) – произвольная точка на этой прямой.
- 26. Пример 1: Написать уравнение прямой L, проходящей
- 27. Пример 2: Написать уравнение прямой L, проходящей
- 28. Уравнения прямой в пространстве по двум точкамЗаданы
- 29. Прямая проходит через точку М1 и имеет
- 30. Параметрические уравнения прямой в пространствеРассмотрим канонические уравнения прямой:Введем параметр t :-∞ < t
- 31. Получим:
- 32. Приведение общих уравнений прямой в пространстве к
- 33. Для решения задачи нужно: 1. найти координаты
- 34. В качестве направляющего вектора примем вектор, который является результатом векторного произведения нормальных векторов двух плоскостей.
- 35. Получаем координаты направляющего вектора:Общие уравнения прямой, записанные в каноническом виде:
- 36. Пример: Записать каноническое уравнение прямой Решение: Положим
- 37. Найдем направляющий вектор. Нормальные векторы плоскостей имеют координатыТогдаКанонические уравнения прямой имеют вид:
- 38. Угол между двумя прямыми в пространстве, условие
- 39. Углом между двумя прямыми называется угол между их направляющими векторами. cos
- 40. Прямые перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие векторы:То
- 41. Пример: Найти угол между прямыми
- 42. Угол между прямой и плоскостьюЗадана плоскость Р:
- 43. Углом между прямой и плоскостью называется угол
- 44. sinφ =Пример: Найти угол между прямой:
- 45. Условие перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.
- 46. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: A·m+B·n+C·p=0.Если
- 47. Пример: Написать уравнение прямой, проходящей через точку
- 48. Разберем типовую задачу.Даны вершины пирамиды ABCD: А(1,0,0);
- 49. Чертеж: z
- 50. 1. Введем в рассмотрение вектор
- 51. 2. Уравнение грани АВС (уравнение плоскости по
- 52. Координаты вектора =(-1;2;0),
- 53. Тогда
- 54. Уравнение высоты - уравнение прямой по точке
- 55. Получим:4. Угол между ребром AD и гранью
- 56. Эта прямая имеет направляющий вектор с координатами:(1,3,4).
- 57. 5. Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда,
- 58. Скачать презентанцию
Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному векторуПоложение плоскости в пространстве можно определить, задав какую-либо точку М0 на плоскости и какой-либо нормальный вектор . Нормальным вектором плоскости называется любой вектор, перпендикулярный
Слайды и текст этой презентации
Слайд 3Пусть точка М0(х0,у0,z0) лежит в плоскости. Введем в рассмотрение произвольную
точку плоскости М(х,у,z).
z n (A,B,C)M
y
M0
x
Слайд 4Векторы и
ортогональны.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.
Слайд 5Пример 1:
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,3,-1) перпендикулярно
вектору
Решение:
По формуле : 1(х-2)+2(у-3)-3(z+1)=0
или х+2у-3z-11=0
Слайд 6Пример 2:
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1,0,0) перпендикулярно
вектору .
Решение:
Получаем:
2(х-1)+0(у-0)+1(z-0)=0 или 2х+z-2=0.
Слайд 7Общее уравнение плоскости
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, раскроем в нем скобки и обозначим –Aх0-Ву0-Сz0=D.
Приведем уравнение рассматриваемой плоскости к виду:
Ax+By+Cz+D=0 -
- общее уравнение
плоскости. Коэффициенты А,В,С являются координатами нормального вектора плоскости.
Слайд 8Частные случаи общего уравнения плоскости
1. Пусть А=0, В,С,D≠0. Тогда :
By+Cz+D=0.
Нормальный вектор плоскости перпендикулярен оси ОХ и, следовательно, плоскость
параллельна оси ОХ.z
y
x
Слайд 9Уравнения Ax+Cz+D=0 и Ax+By+D=0 выражают плоскости, параллельные осям ОУ и
OZ.
2. D=0, А,В,С≠0. Уравнение плоскости: Ax+By+Cz=0. Точка О(0,0,0) удовлетворяет уравнению
плоскости. Уравнение задает плоскость, проходящую через начало координат.3. А=0, D=0, В,С≠0. Уравнение плоскости: By+Cz=0. Плоскость одновременно параллельна оси ОХ и проходит через начало координат, т.е. проходит через ось ОХ.
Слайд 10Аналогично уравнения Ax+Cz=0 и Ax+By=0 выражают плоскости, проходящие через оси
OY и OZ.
4. А=0, В=0, С,D≠0. Уравнение плоскости: Cz+D=0. Плоскость
одновременно параллельна осям ОХ и ОУ, т.е. координатной плоскости ОХУ. Аналогично уравнения By+D=0, и Ax+D=0 выражают плоскости, параллельные координатным плоскостям OXZ и OYZ.
Слайд 12А=0, В=0, D=0, С≠0.
Уравнение плоскости: Cz=0 или z=0. Это
плоскость одновременно параллельная координатной плоскости ОХУ , т.е. сама координатная
плоскость ОХУ. Аналогично: у=0 и х=0 – уравнения координатных плоскостей OXZ и OYZ.
Слайд 13Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
Три точки, не
лежащие на одной прямой- M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).
M(x,y,z) – произвольная точка
плоскости.z
M2
М1
М3
М
Слайд 14Векторы
компланарны. Их смешанное произведение равно нулю.
Это искомое уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Слайд 15Пример . Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1,2,1), M2(0,1,4),
M3(-3,3,2).
Решение: Используя полученное уравнение, имеем:
Или 4х+11у+5z-31=0
Слайд 16Угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
Две плоскости:
A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0. Их нормальные векторы
,Углом между двумя плоскостями называется угол между их нормальными векторами
Cosω=
Слайд 17Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы тоже перпендикулярны, и
поэтому их скалярное произведение равно нулю:
А1·А2+В1·В2+С1·С2=0.
Если плоскости параллельны, то
параллельны их нормальные векторы, а значит, выполняются соотношения:
Слайд 18Пример: Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(0,1,4) параллельно плоскости
2х-4у-z+1=0.
Решение: Вектор нормали данной плоскости будет являться нормальным вектором и
для искомой плоскости. Используем уравнение плоскости по точке и нормальному вектору: 2(х-0)-4(у-1)-(z-4)=0 или 2х-4у-z+8=0.
Слайд 19.Расстояние от точки до плоскости
найти расстояние от точки М(х0,у0,z0) до
плоскости: Ax+By+Cz+D=0. Опустим из точки М перпендикуляр МК на плоскость
(d).z M
n
K y
x
Слайд 20Пусть точка К имеет координаты х1,у1,z1
Или
А(х0-х1)+В(у0-у1)+С(z0-z1)=
= Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1).
Точка К лежит в
плоскости, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, то есть Ax1+By1+Cz1+D=0.
Слайд 21Учитывая это, получаем:
Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)= Ax0+By0+Cz0+D.
Тогда: Ax0+By0+Cz0+D=
;
Слайд 22Пример:
Найти расстояние от точки М (-1,2,3) до плоскости 2х-6у-3z+2=0.
Решение:
Воспользуемся
формулой и подставим в уравнение плоскости координаты заданной точки:
= =3
Слайд 23Общие уравнения прямой в пространстве
Прямая в пространстве рассматривается как линия
пересечения двух плоскостей.
Система задает прямую в том случае, если плоскости
не являются параллельными, 
Слайд 24 Канонические уравнения прямой в пространстве
Положение прямой L в пространстве
однозначно определено, если известна какая-нибудь точка М0(х0,у0,z0), лежащая на прямой
L, и задан направляющий векторS
M
M0
Слайд 25М(х,у,z) – произвольная точка на этой прямой. Тогда векторы
=(х-х0, у-у0, z-z0) и
будут коллинеарны:
- канонические уравнения
прямой в пространстве или уравнения прямой по точке и направляющему вектору.
Слайд 26Пример 1:
Написать уравнение прямой L, проходящей через точку М(1,2,3),
параллельно прямой
Решение:
Так как прямые параллельны, то
является направляющим вектором и искомой прямой. Следовательно: 
Слайд 27Пример 2:
Написать уравнение прямой L, проходящей через точку М(1,2,3),
и имеющей направляющий вектор
Решение:
Воспользуемся формулой:
и у-2=0,то есть 5х-2z+1=0 и у=2. Это означает, что прямая лежит в плоскости у=2
Слайд 28Уравнения прямой в пространстве по двум точкам
Заданы две точки М1(х1,у1,z1)
и М2(х2,у2,z2). Написать уравнение прямой, проходящей через две точки.
М1М2
Слайд 29Прямая проходит через точку М1 и имеет в качестве направляющего
вектора
Уравнение имеет вид:
Пример: Написать уравнение прямой, проходящей через точки М1(1,4,-3)
и М2(2,1,1).Решение: Воспользуемся формулой
Слайд 30Параметрические уравнения прямой в пространстве
Рассмотрим канонические уравнения прямой:
Введем параметр t
:
-∞ < t
Слайд 31Получим:
или
параметрические уравнения прямой в пространстве. В таком
виде их часто используют в механике и физике, параметр t, обычно, время.
Слайд 32Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду
Заданы общие
уравнения прямой в пространстве
(1)Привести их к каноническому виду
Слайд 33Для решения задачи нужно:
1. найти координаты (х0,у0,z0) какой-либо точки,
лежащей на прямой,
2. найти координаты (m,n,p) направляющего вектора этой прямой.
Чтобы
найти координаты точки М0 придадим одной из координат произвольное численное значение, например полагаем х=х0. Внеся его в систему (1), получаем систему двух уравнений с неизвестными у и z. Решаем ее. В результате на прямой найдена точка М0(х0,у0,z0).
Слайд 34В качестве направляющего вектора примем вектор, который является результатом векторного
произведения нормальных векторов двух плоскостей.
Слайд 35Получаем координаты направляющего вектора:
Общие уравнения прямой, записанные в каноническом виде:
Слайд 36Пример: Записать каноническое уравнение прямой
Решение: Положим z0=0. Тогда:
Отсюда: :
у0=-6, х0=7. Точка М0, лежащая на прямой, имеет координаты :
(7,-6,0).
Слайд 37Найдем направляющий вектор. Нормальные векторы плоскостей имеют координаты
Тогда
Канонические уравнения прямой
имеют вид:
Слайд 38Угол между двумя прямыми в пространстве, условие перпендикулярности и параллельности
прямых
прямые L1 и L2 заданы в каноническом виде с направляющими
векторами и
Слайд 40Прямые перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие векторы:
То есть
, или
m1m2+n1n2+p1p2=0.Прямые параллельны, если параллельны их направляющие векторы:
Слайд 41Пример: Найти угол между прямыми
и
Решение: Направляющие векторы прямых имеют координаты: (1,3,-2) и (4,1,2). Следовательно,
Слайд 43Углом между прямой и плоскостью называется угол φ между прямой
и проекцией ее на плоскость.
ω - угол между нормальным
вектором плоскости и направляющим вектором прямой. ω=π/2-φ. Тогда sinφ=cos(π/2-φ)= =cosω. Но cosω=cosТогда
sinφ= cos
Слайд 44sinφ =
Пример: Найти угол между прямой:
и плоскостью: 2х+у+2z-5=0.
Решение: Нормальный вектор плоскости имеет координаты: (2,1,2), направляющий вектор прямой имеет координаты: (3,2,-6).
Слайд 45Условие перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.
Задана прямая L:
и
плоскость Р: Ах+Ву+Сz+D=0.
Если прямая параллельна плоскости, то направляющий вектор
прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости.L
P
Слайд 46Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: A·m+B·n+C·p=0.
Если прямая перпендикулярна плоскости,
то эти векторы параллельны.
LР
В этом случае:
Слайд 47Пример:
Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(1,2,-3), перпендикулярно плоскости
4х+2у-z+5=0.
Решение:
Так как плоскость перпендикулярна прямой, то нормальный вектор и направляющий
вектор параллельны:
Слайд 48Разберем типовую задачу.
Даны вершины пирамиды ABCD: А(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3), D(2,3,4).
Найти:
1. Длину и уравнение ребра АВ,
2. Уравнение и площадь грани
АВС,3. Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины D на грань АВС,
4. Угол между ребром AD и гранью АВС,
5. Объем пирамиды.
Слайд 501. Введем в рассмотрение вектор . Его
координаты: (0-1;2-0;0-0), или (-1;2;0). Длина ребра АВ равна модулю вектора
.АВ=
Уравнение прямой АВ (уравнение прямой по двум точкам):
Или 2х+у-2=0
Слайд 512. Уравнение грани АВС (уравнение плоскости по трем точкам):
Отсюда: (х-1)∙6-у∙(-3)+z∙2=0,
или 6х+3у+2z-6=0.
Площадь треугольника АВС найдем с помощью векторного произведения векторов
и 
Слайд 54Уравнение высоты - уравнение прямой по точке D(2,3,4) и направляющему
вектору. В качестве направляющего вектора – нормальный вектор грани АВС:
Для
нахождения длины высоты используем формулу:
Слайд 55Получим:
4. Угол между ребром AD и гранью АВС. Уравнение грани
АВС: 6х+3у+2z-6=0, нормальный вектор имеет координаты: (6,3,2). Напишем уравнения прямой,
проходящей через точки А(1,0,0) и D(2,3,4):
Слайд 575. Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах,
как на сторонах. Используем смешанное произведение векторов. Координаты векторов:
=(-1,2,0),=(-1,0,3), =(1,3,4)
Vпараллелепипеда
Vпирамиды=23/6 куб.ед.
