Тема 3. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ ВЕЩЕСТВА 3.1. Гипотеза де Бройля 3.2

Дифракция электронов
3.3 Корпускулярно-волновой дуализм
микрочастиц вещества
х

и представлений о природе микрочастиц (электронов, протонов и т.п.). Возник

дуализм не является особенностью только оптических явлений, а имеет универсальный

премии 1929 г. по физике за открытие волновой природы электрона.

света на вещество, предположил, что поток материальных частиц должен обладать и волновыми свойствами, связанными с их массой и энергией (волны де Бройля). Экспериментальное подтверждение этой идеи было получено в 1927 в опытах по дифракции электронов в кристаллах, а позже она получила практическое применение при разработке магнитных линз для электронного микроскопа. Концепцию де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме использовал Э.Шредингер при создании волновой механики.

слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не

частица (например, электрон), движущаяся с некоторой скоростью, обладает волновыми свойствами,

m и импульсом p=mυ (где υ – скорость частицы) можно

с кристаллом, молекулой и т.п. – её энергия меняется.

для того революционного в науке времени. Однако,

атомов и т.п.) кристаллами или молекулами жидкостей и газов, при

механики – корпускулярно-волновой дуализм, явился опыт американских физиков К. Дэвиссона

Опыты по дифракции частиц
и их квантовомеханическая интерпретация.

выполнению опытов,
за которые ещё несколько лет назад
их бы поместили
в

х а !"

свойства волн -
д и ф р а к ц

электронов от поверхности кристалла никеля при определённых углах отражения возникали

:
и их появление не могло быть объяснено никаким

энергию, чтобы проникать сквозь тонкие плёнки вещества (толщиной порядка 10–5

Фабрикант поставили такой же опыт, но интенсивность электронного пучка была

х

даже молекул!
Атомам с массой μ, находящимся в газообразном состоянии

где k –постоянная Больцмана,
E=2/3kT - средняя кинетическая энергия атома

Не), и температур в сотни градусов Кельвина, длина волны также

кристалл и тем или иным способом фиксируют «отражённые» дифракционные пучки.

Таким путём немецкие учёные О. Штерн и И. Эстерман, а также др. исследователи на рубеже 30-х гг. наблюдали дифракцию атомных и молекулярных пучков

распространение как один из методов исследования структуры вещества.

установлении двойственной природы материи – корпускулярно-волнового дуализма (и тем самым

Микрочастицы – это элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны и т.д.),

– ни видеть, ни осязать их нельзя.
Ничего подобного в

х

объекта или процесса. В квантовой физике так рассуждать нельзя.
Всякая

особой природы.

Вычислим дебройлевскую длину волны мячика массой 0,20 кг, движущегося

Это чрезвычайно малая длина волны.
Даже при крайне низких скоростях, скажем 10–4м/с, дебройлевская длина волны составляла бы примерно 10–29м.

было обнаружить и измерить.
Дело в том, что типичные волновые

Т.к. масса входит в знаменатель формулы
очень малой массе соответствует

м/с

откуда

порядка 10–10 м.
Хотя это очень короткие волны,

волновой функции
х
4.3. Уравнение Шредингера

для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления.
Поэтому

к тому, что оказывается невозможным одновременно характеризовать частицу ее положением

х

где h – постоянная Планка.

или px), тем больше неопределенность другой. Возможно, такое состояние, в

соотношение неопределенностей
х
это соотношение означает, что определение энергии с точностью ΔE

(координаты, импульса) и наличии у нее волновых свойств.
Т.к. в

механики применительно к микрочастицам,
в частности, с какой степенью точности

меньше неопределенность ее координаты и скорости, следовательно, с тем большей

может двигаться. Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства

υ=108 м/с, определяемой с точностью до 0,01 (Δυx≈104 м/с). Какова

долей миллиметра. Такая точность достаточна, чтобы можно было говорить о

что неопределенность координаты электрона Δx≈10–10 м (порядка размеров самого атома),

вокруг ядра по круговой орбите радиуса
0,5∙10–10 м

данной точке пространства связана с числом частиц, попавших в эту

квантовой теории.
Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны

г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность,

помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их

вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единице объема в

конечном объеме V, согласно теореме о сложении вероятностей, равна:
х
Т.к.

координатам x, y, z от –∞ до ∞.
Таким

Условия нормировки вероятностей:

удовлетворять ряду ограничительных условий.
Функция Ψ, характеризующая вероятность

х

различных состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1, Ψ2, … Ψn, то

где Cn (n = 1, 2, 3…) – произвольные, комплексные числа.

принципиально отличает квантовую теорию от классической статической теории, в которой

Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике,

y, z, t), т.к. именно величина |Ψ|2, осуществляет вероятность пребывания

создателей квантовой механики. Основные работы в области статистической физики, квантовой

Разработал теорию движения микрочастиц – волновую механику, построил квантовую теорию возмущений – приближенный метод в квантовой механике. За создание волновой механики удостоен Нобелевской премии.

согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что в

так:

где

m – масса частицы.

– оператор Лапласа

i – мнимая единица,
U(x, y, z, t) – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется,
Ψ – искомая волновая функция.

U не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной

Здесь E – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной.

уравнение Шрёдингера для стационарных состояний, в котором исключена зависимость Ψ

свободной частицы
5.2. Частица в одномерной прямоугольной
яме с бесконечными внешними «стенками»
5.3.

х

5.4. Прохождение частиц сквозь
потенциальный барьер. Туннельный эффект

отсутствие внешних полей.
Т.к. на свободную частицу (пусть она движется

(1)

(1) является функция


где A=const и k=const, с собственным значением

(2)

обычной для нерелятивистских частиц.
Следовательно, энергия свободной частицы может принимать

описывается плоской монохроматической волной де Бройля.
Этому способствует не зависящая

яме с бесконечно высокими «стенками».
5.2. Частица в одномерной прямоугольной
яме с

а энергия отсчитывается от ее дна. (для простоты принимая, что

в виде:
(3)

пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения, (а следовательно, и волновая

(4)

l) уравнение Шредингера (3) сведется к уравнению
(5)
где
Общее решение дифференциального

Уравнение Ψ(l) = A sin kl = 0 выполняется только при

Т.е. стационарное уравнение Шредингера описывающее движение частицы в «потенциальной

определяющее энергетические уровни - главным квантовым числом.

Таким образом, микрочастица

результате интегрирования получим
Соответственные функции будут иметь вид:
где

1, 2, 3…

расстояниях от «стенок» ямы для п = 1, 2,

В квантовом состоянии с п = 2 частица не может находиться в центре ямы, в то время как одинаково может пребывать в ее левой и правой частях.
Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

условиями равен
Например, для электрона при размерах ямы l=10–10м (свободные

10–10 м), то для электрона
ΔEn ≈ 10–17 n Дж

х

под действием квазиупругой силы F=kx.
Потенциальная энергия частицы

.
где
или

потенциальной энергии. Поэтому
с классической точки зрения частица не может выйти

График потенциальной энергии частицы:

уравнением Шредингера:
Значения полной энергии осциллятора
где n = 0, 1, 2…

n.
называется нулевой энергией, т.е. при Т = 0К колебания атомов

Минимальная
энергия

одного состояния в другое. Для гармонического осциллятора возможны лишь переходы

Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора:

ямы частицы быть не может.

минимальная порция энергии

(Вспомним тепловые излучения, где энергия излучается квантами).

обнаружить и за пределами ямы, т.е. в области с координатами

потенциальный барьер прямоугольной формы высоты U и шириной l для

Рисунок 5

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е:
либо беспрепятственно пройдет под барьером,
либо отразится от него (E < U) и будет двигаться в обратную сторону, т.е. она не может проникнуть через барьер.

что частица окажется в области x > l, т.е. проникнет

Для микрочастицы же, даже при E > U, имеется отличная от нуля возможность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону.

вид:

Общее решение этих дифф. уравнений:
Здесь q = iβ –

= 0, получим решение уравнения Шредингера для трех областей в

В области 2 функция уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени не мнимые а действительные

не равна нулю и внутри барьера, хотя уже не соответствует

Качественный анализ функций Ψ1(x), Ψ2(x), Ψ3(x) показан на рис.

квантовому явлению -
туннельному эффекту,
в результате которого микрообъект

на отрезке Δx = l составляет
Связанная с этим

может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия оказалась больше потенциальной.

кинетическая энергия

E < U невозможно, так как частица,

советских ученых
Л.И. Мандельштама и М.А. Леонтовича в 1928