Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
История открытия комплексных чисел
Содержание
- 1. История открытия комплексных чисел
- 2. СодержаниеНатуральные числаДробиПифагорДиагональ квадрата несоизмерима со сторонойОтрицательные числаРуффиниВсякое
- 3. Натуральные числаДревнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные
- 4. ДробиНаряду с натуральными числами применяли дроби -
- 5. Пифагор учил, что «… элементы чисел являются
- 6. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен
- 7. Есть основание утверждать, что именно с этого
- 8. Отрицательные числаСледующим важным этапом в развитии понятия
- 9. С помощью отрицательных чисел можно было единым
- 10. В XVI веке в связи с изучением
- 11. Эта формула безотказно действует в случае, когда
- 12. Вслед за тем, как были решены уравнения
- 13. РуффиниНо Руффини (Италия) на рубеже XVIII и
- 14. Всякое уравнение n-й степени имеет n корнейВ
- 15. В этом математики были убеждены еще в
- 16. Числа новой природыИтальянский алгебраист Дж. Кардано в
- 17. Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и
- 18. В 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста
- 19. Мнимые числаНазвание “мнимые числа” ввел в 1637
- 20. Комплексные числаЭтот символ вошел во всеобщее употребление
- 21. В течение XVII века продолжалось обсуждение
- 22. На рубеже XVII и XVIII веков была
- 23. С помощью этой формулы можно было так
- 24. Формула Л.ЭйлераС помощью формулы Л. Эйлера можно
- 25. Использование мнимых чисел В конце XVIII века
- 26. Хотя в течение XVIII века с
- 27. По этому французский ученый П. Лаплас считал,
- 28. Использование мнимых чиселВ конце XVIII века, в
- 29. Использование мнимых чиселПозднее оказалось, что еще удобнее
- 30. Вектор можно задавать
- 31. Использование мнимых чиселЧисло r называют модулем комплексного
- 32. ВыводыГеометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие
- 33. Стало ясно, что комплексные числа полезны во
- 34. Скачать презентанцию
СодержаниеНатуральные числаДробиПифагорДиагональ квадрата несоизмерима со сторонойОтрицательные числаРуффиниВсякое уравнение n-й степени имеет n корнейЧисла новой природыМнимые числаКомплексные числаИспользование мнимых чиселВыводы
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Содержание
Натуральные числа
Дроби
Пифагор
Диагональ квадрата несоизмерима со стороной
Отрицательные числа
Руффини
Всякое уравнение n-й степени
имеет n корней
Слайд 3Натуральные числа
Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа.
В III веке
Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как
Слайд 4Дроби
Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из
целого числа долей единицы.
В практических расчетах дроби применялись за
две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби.
Слайд 5Пифагор
учил, что «… элементы чисел являются элементами всех вещей
и весь мир в челом является гармонией и числом».
Слайд 6Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним
из пифагорейцев.
Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной.
Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.
Диагональ квадрата несоизмерима со стороной
Слайд 7Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра
теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не
прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.Диагональ квадрата несоизмерима со стороной
Слайд 8Отрицательные числа
Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было
введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за
два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом.
Слайд 9С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения
величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень
из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .Отрицательные числа
Слайд 10В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось
необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для
решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни:Отрицательные числа
Слайд 11Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один
действительный корень (
), а если оно имеет три действительных корня ( ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Слайд 12Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики
усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени.
Слайд 13Руффини
Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал,
что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя
выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).
Слайд 14Всякое уравнение n-й степени имеет n корней
В 1830 году Галуа
(Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем
4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные).
Слайд 15В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь
на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII
и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.Всякое уравнение n-й степени имеет n корней
Слайд 16Числа новой природы
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил
ввести числа новой природы.
Он показал, что система уравнений
не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида ________,________ , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что __________.
Слайд 17Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”,
считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом
деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.Числа новой природы
Слайд 18В 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в
которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами,
вплоть до извлечения из них кубических корней.Числа новой природы
Слайд 19Мнимые числа
Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик
и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из
крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы).
Слайд 20Комплексные числа
Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу
. Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в
1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.
Слайд 21 В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых
чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
Постепенно развивалась техника
операций над мнимыми числами. Комплексные числа
Слайд 22На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория
корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из
любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707):Комплексные числа
Слайд 23С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы
для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в
1748 году замечательную формулу :, которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической.
Слайд 24Формула Л.Эйлера
С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число
e в любую комплексную степень.
Можно находить sin и cos
от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.
Слайд 25Использование мнимых чисел
В конце XVIII века французский математик Ж.
Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые
величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Слайд 26 Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел
были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи,
связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел.Использование мнимых чисел
Слайд 27По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные
с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих
истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.“Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.
Использование мнимых чисел
Слайд 28Использование мнимых чисел
В конце XVIII века, в начале XIX века
было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз
Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число __________точкой на координатной плоскости.
Слайд 29Использование мнимых чисел
Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не
самой точкой M, а вектором , идущим в
эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.
Слайд 30Вектор можно задавать не только его
координатами a и b, но так же длиной r и
углом φ, который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , ________ и число z принимает вид который называется тригонометрической формой комплексного числа.Использование мнимых чисел
Слайд 31Использование мнимых чисел
Число r называют модулем комплексного числа z и
обозначают . Число φ называют аргументом z и обозначают
ArgZ. Заметим, что если z =0, значение ArgZ не определено, а при z≠0 оно определено с точностью до кратного 2π. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма комплексного числа).
Слайд 32Выводы
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с
функцией комплексного переменного, расширило область их применения.
Слайд 33Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где
имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при
изучении течения жидкости, задач теории упругости.Выводы
Теги
