Численные методы

Содержание

1. Численные методы
2. │x – xпр │< εВеличину ε также
3. Отделение корней Отделение корней можно проводить
4. Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.Теорема
5. Метод половинного деления (метод дихотомии) Выбор
6. Слайд 6
7. Условие остановки итерационного процесса может быть сформулировано
8. Метод Ньютона (метод касательных)Графическая интерпретация метода.
9. В общем случае вычислительный процесс метода Ньютона выражается формулой:
10. Метод хорд (метод секущих)Геометрическая интерпретация метода хорд
11. Положим y = 0 и найдем значение
12. В случае
13. когда
14. Уравнение прямой для этого случая имеет видОчередное
15. Метод простых итерацийДля реализации этого метода исходное
16. Ход итерационного процесса удобно представить графически.
17. Задача численного интегрирования В ряде задач
18. Вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.Задача численного
19. Численное интегрирование применяется, когда:сама подынтегральная функция не
20. хj– узлы интегрирования Выражение называют квадратурной формулой.Разделим отрезок [a,
21. Погрешность квадратурной формулы определяется выражением:и зависит от выбора коэффициентов Сj и от расположения узлов хj
22. Метод прямоугольников Графически метод средних прямоугольников
23. Слайд 23
24. Метод трапеций Графически метод трапеций
25. формула трапеций имеет видТогда границы элементарных отрезков
26. Метод Симпсона (метод парабол) Графическое представление метода Симпсона
27. Указанная парабола задается уравнениемТогда границы элементарных отрезков
28. Суммируя левую и правую части этого соотношения
29. Слайд 29
30. Общие сведения. Классы электромеханических приборов, измеряющих напряжение
31. Скачать презентанцию

│x – xпр │< εВеличину ε также называют допустимой ошибкой, которую можно задать по своему усмотрению.Задача решения нелинейного уравнения состоит из двух этапов:локализация корней, т.е. определение интервала изоляции (интервала неопределенности), в

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Численные методы

Слайд 2│x – xпр │< ε
Величину ε также называют допустимой ошибкой,

которую можно задать по своему усмотрению.

Задача решения нелинейного уравнения состоит

из двух этапов:
локализация корней, т.е. определение интервала изоляции (интервала неопределенности), в котором расположен корень;
определение с заданной точностью точности ε приближенного значения корня.

│x – xпр │< εВеличину ε также называют допустимой ошибкой, которую можно задать по своему усмотрению.Задача решения

Слайд 3 Отделение корней
Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того чтобы

графически отделить корни уравнения, необходимо построить график функции f(x). Абсциссы

точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения.

Отделение корней Отделение корней можно проводить графически и аналитически.Для того чтобы графически отделить корни уравнения, необходимо

Слайд 4Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.
Теорема 1. Если непрерывная

функция f(x) принимает на концах отрезка [a; b] значения разных

знаков, т.е.

Теорема 2. Если непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f'(x) сохраняет знак внутри указанного отрезка, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x) = 0.

то на этом отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения.

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает на концах отрезка [a;

Слайд 5 Метод половинного деления (метод дихотомии)
Выбор начального приближения состоит в том,

чтобы задать границы xmin и xmax конечного интервала значений x,

в котором находится корень уравнения (только один корень уравнения для случая нескольких корней). Поскольку действительное положение корня уравнения внутри интервала неизвестно, примем в качестве начального приближения точку, соответствующую середине интервала

x0=0,5(xmin + xmax).

Метод половинного деления (метод дихотомии) Выбор начального приближения состоит в том, чтобы задать границы xmin и

Слайд 6

Слайд 7Условие остановки итерационного процесса может быть сформулировано несколькими способами:
n =

nmax, где nmax - заранее установленное максимальное число шагов итерационного

процесса. Это условие может применяться при ограниченных ресурсах времени на решение;
(xmax – xmin) < ε , где ε - требуемая точность вычисления корня уравнения определяется, исходя из условий дальнейшего практического использования полученного решения.

Условие остановки итерационного процесса может быть сформулировано несколькими способами:n = nmax, где nmax - заранее установленное максимальное

Слайд 8Метод Ньютона (метод касательных)
Графическая интерпретация метода.

Слайд 9В общем случае вычислительный процесс метода Ньютона выражается формулой:

Слайд 10Метод хорд (метод секущих)
Геометрическая интерпретация метода хорд

Слайд 11Положим y = 0 и найдем значение х = х1 (очередное

приближение):
Повторим процесс вычислений для получения очередного приближения к корню -

х2:

Положим y = 0 и найдем значение х = х1 (очередное приближение):Повторим процесс вычислений для получения очередного приближения

Слайд 12В случае

расчетная формула метода хорд будет иметь вид
Эта

формула справедлива, когда за неподвижную точку принимается точка b, а в качестве начального приближения выступает точка a.

Слайд 13 когда

Слайд 14Уравнение прямой для этого случая имеет вид
Очередное приближение х1 при

y = 0
Тогда формула метода хорд для этого случая имеет

вид

Слайд 15Метод простых итераций
Для реализации этого метода исходное уравнение f(x)=0 предварительно

преобразуется к виду x=ϕ(x). Обычно это можно осуществить несколькими способами.

Выбрав начальное приближение x0 (реализуют следующий итерационный процесс: x1=ϕ(x0) ,x2=ϕ(x1), и т.д.

Метод простых итерацийДля реализации этого метода исходное уравнение f(x)=0 предварительно преобразуется к виду x=ϕ(x). Обычно это можно

Слайд 16Ход итерационного процесса удобно представить графически.

xn+1 – xn

< ε

Ход итерационного процесса удобно представить графически.

Слайд 17 Задача численного интегрирования
В ряде задач возникает необходимость вычисления определенного интеграла

от некоторой функции:

где f(x) – подынтегральная функция, непрерывная на отрезке [a,

b].
Геометрический смысл интеграла заключается в том, что если f(x)>0 на отрезке [a, b], то интеграл

численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b.

Задача численного интегрирования В ряде задач возникает необходимость вычисления определенного интеграла от некоторой функции:где f(x) – подынтегральная

Слайд 18Вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.
Задача численного интегрирования состоит в замене

исходной подынтегральной функции некоторой аппроксимирующей функцией (обычно полиномом).

Вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подынтегральной функции некоторой аппроксимирующей функцией (обычно

Слайд 19Численное интегрирование применяется, когда:
сама подынтегральная функция не задана аналитически, а

например, представлена в виде таблицы значений;
аналитическое представление подынтегральной функции известно,

но её первообразная не выражается через аналитические функции.
Способы численного вычисления определенных интегралов основаны на замене интеграла конечной суммой:

где Сj– числовые коэффициенты, выбор которых зависит от выбранного метода численного интегрирования,

Численное интегрирование применяется, когда:сама подынтегральная функция не задана аналитически, а например, представлена в виде таблицы значений;аналитическое представление

Слайд 20хj– узлы интегрирования
Выражение называют квадратурной формулой.
Разделим отрезок [a, b] на N равных частей,

то есть на N элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка:

Тогда значение

интеграла можно представить в виде:

Из этого выражения видно, что для численного интегрирования на отрезке [a, b] достаточно построить квадратурную формулу на каждом частичном отрезке

хj– узлы интегрирования Выражение называют квадратурной формулой.Разделим отрезок [a, b] на N равных частей, то есть на N элементарных отрезков. Длина каждого элементарного

Слайд 21Погрешность квадратурной формулы определяется выражением:

и зависит от выбора коэффициентов Сj и

от расположения узлов хj

Слайд 22 Метод прямоугольников
Графически метод средних прямоугольников представлен

Длина каждой части
Тогда границы

элементарных отрезков xi =a + i·h, а значения функции в

этих точках fi = f(xi), где i = 0, 1, …, n.

Метод прямоугольников Графически метод средних прямоугольников представленДлина каждой части Тогда границы элементарных отрезков xi =a +

Слайд 23

Слайд 24 Метод трапеций
Графически метод трапеций

Слайд 25формула трапеций имеет вид
Тогда границы элементарных отрезков xi =a +

i*h, а значения функции в этих точках fi = f(xi),

где i= 0, 1, …, n.

Для отрезка [xi, xi+1] длины h

Суммируя левую и правую части этого соотношения от i=0 до i=n-1

формула трапеций имеет видТогда границы элементарных отрезков xi =a + i*h, а значения функции в этих точках

Слайд 26 Метод Симпсона (метод парабол)
Графическое представление метода Симпсона

Слайд 27Указанная парабола задается уравнением

Тогда границы элементарных отрезков
а значения функции

в этих точках
, где
Перепишем каноническую квадратурную формулу Симпсона применительно

к отрезку

длины 2·h

Указанная парабола задается уравнениемТогда границы элементарных отрезков а значения функции в этих точках, где Перепишем каноническую квадратурную

Слайд 28Суммируя левую и правую части этого соотношения от

до , получаем усложненную квадратурную формулу Симпсона

Слайд 29

Слайд 30Общие сведения. Классы электромеханических приборов, измеряющих напряжение и силу тока.

Цифровые вольтметры.
Универсальные осциллографы. Техника осциллографирования непрерывных и импульсных сигналов.
Цифровые и

аналоговые методы измерения частоты и интервалов времени.

Общие сведения. Классы электромеханических приборов, измеряющих напряжение и силу тока. Цифровые вольтметры.Универсальные осциллографы. Техника осциллографирования непрерывных и

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Численные методы

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Численные методы

Слайд 2│x – xпр │< εВеличину ε также называют допустимой ошибкой,

которую можно задать по своему усмотрению.Задача решения нелинейного уравнения состоит

Слайд 3 Отделение корней Отделение корней можно проводить графически и аналитически.Для того чтобы

графически отделить корни уравнения, необходимо построить график функции f(x). Абсциссы

Слайд 4Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.Теорема 1. Если непрерывная

функция f(x) принимает на концах отрезка [a; b] значения разных

Слайд 5 Метод половинного деления (метод дихотомии) Выбор начального приближения состоит в том,

чтобы задать границы xmin и xmax конечного интервала значений x,

Слайд 6

Слайд 7Условие остановки итерационного процесса может быть сформулировано несколькими способами:n =

nmax, где nmax - заранее установленное максимальное число шагов итерационного

Слайд 8Метод Ньютона (метод касательных)Графическая интерпретация метода.

Слайд 9В общем случае вычислительный процесс метода Ньютона выражается формулой:

Слайд 10Метод хорд (метод секущих)Геометрическая интерпретация метода хорд

Слайд 11Положим y = 0 и найдем значение х = х1 (очередное

приближение):Повторим процесс вычислений для получения очередного приближения к корню -

Слайд 12В случае

расчетная формула метода хорд будет иметь видЭта

Слайд 13 когда

Слайд 14Уравнение прямой для этого случая имеет видОчередное приближение х1 при

y = 0Тогда формула метода хорд для этого случая имеет

Слайд 15Метод простых итерацийДля реализации этого метода исходное уравнение f(x)=0 предварительно

преобразуется к виду x=ϕ(x). Обычно это можно осуществить несколькими способами.

Слайд 16Ход итерационного процесса удобно представить графически.

xn+1 – xn

Слайд 17 Задача численного интегрирования В ряде задач возникает необходимость вычисления определенного интеграла

от некоторой функции:где f(x) – подынтегральная функция, непрерывная на отрезке [a,

Слайд 18Вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.Задача численного интегрирования состоит в замене