Разделы презентаций


Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла

Содержание

Немного теории.Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла.
Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла.Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

Слайд 2
Немного теории.
Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных

пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из

тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x[0;H].

H

x

Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.


Немного теории.Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни

Слайд 3
Немного теории.
H
x
x
С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры

плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно

большим числом (n→), то:


Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е.

где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].


Sсеч.

Немного теории.HxxС точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять

Слайд 4
Немного теории (базовые классы могут пропустить).
H
x
x
Если принять число разбиений бесконечно

большим числом (n→), то:

где H – высота тела, а Sсеч.

– некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].


Sсеч.

Немного теории (базовые классы могут пропустить).HxxЕсли принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то:где H – высота

Слайд 5

I. Объем прямоугольного параллелепипеда
с высотой H и площадью основания S.
x
H
x[0;H]
0
Площадь

сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до

H и равна площади основания.



x


I. Объем прямоугольного параллелепипедас высотой H и площадью основания S.xHx[0;H]0Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка

Слайд 6
II. Объем прямой призмы
с высотой H и площадью основания S.
x
x[0;H]
H
0
Площадь

сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до

H и равна площади основания.



x



II. Объем прямой призмыс высотой H и площадью основания S.xx[0;H]H0Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка

Слайд 7

III. Объем n-угольной прямой призмы
с высотой H и площадью

основания S.
x
x[0;H]
H
0
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от

0 до H и равна площади основания.



x


III. Объем n-угольной прямой призмы с высотой H и площадью основания S.xx[0;H]H0Площадь сечения не изменяется в любой

Слайд 8IV. Объем наклонной призмы
с высотой H и площадью основания

S.

Площадь сечения, перпендикулярного высоте, не изменяется в любой точке отрезка

от 0 до H и равна площади основания.

x

H

x[0;H]

0




x

IV. Объем наклонной призмы с высотой H и площадью основания S.Площадь сечения, перпендикулярного высоте, не изменяется в

Слайд 9V. Объем треугольной пирамиды
с высотой H и площадью основания S.
H
x
x[0;H]



x
Площадь

сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади

основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных треугольников, т.е.:


0



V. Объем треугольной пирамидыс высотой H и площадью основания S.Hxx[0;H]⇒xПлощадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x,

Слайд 10
VI. Объем n-угольной пирамиды
с высотой H и площадью основания S.
H
x




Площадь

сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади

основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных n-угольников, т.е.:

x

x[0;H]

0

VI. Объем n-угольной пирамидыс высотой H и площадью основания S.HxПлощадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x,

Слайд 11VII. Объем усеченной пирамиды.
текст

VII. Объем усеченной пирамиды.текст

Слайд 12
VIII. Объем цилиндра с высотой H и площадью основания S.




x
x[0;H]
H
0


x
Площадь

сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до

H и равна площади основания.
VIII. Объем цилиндра с высотой H и площадью основания S.xx[0;H]H0xПлощадь сечения не изменяется в любой точке отрезка

Слайд 13
IX. Объем конуса с высотой H и площадью основания S.


x
x[0;H]
H

x

Площадь

сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади

основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных кругов, т.е.:


0

IX. Объем конуса с высотой H и площадью основания S.xx[0;H]HxПлощадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x,

Слайд 14X. Объем усеченного конуса.


текст

X. Объем усеченного конуса.текст

Слайд 15XI. Объем шара с радиусом R.
Найдем объем полушария, как бесконечную

интегральную сумму площадей сечения с радиусом r, где:





R
x
Значит, объем всего

шара равен:

x

0



r

XI. Объем шара с радиусом R.Найдем объем полушария, как бесконечную интегральную сумму площадей сечения с радиусом r,

Слайд 16XII. Объем шарового сегмента.




Вывод объема шарового сегмента с высотой h

и радиусом основания r отличается от вывода объема полушария нижним

пределом интегрирования. В данном случае он равен R –h :

r

R

h


x

Обратите внимание, что в формуле объема шарового сегмента участвует радиус шара (R), а не радиус основания сегмента (r)!

XII. Объем шарового сегмента.Вывод объема шарового сегмента с высотой h и радиусом основания r отличается от вывода

Слайд 17XIII. Объем шарового слоя.




текст

XIII. Объем шарового слоя.текст

Слайд 18XIV. Объем шарового сектора.




текст

XIV. Объем шарового сектора.текст

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика