Инварианты в олимпиадных задачах по математике

Юрьевна
Школа: ГАОУ ТО “ФМШ”, г. Тюмень

результате изменений.
С помощью инварианта можно показать невозможность достижения некоторого

5, 6.
За один ход разрешается к любым двум из них

5, 6.
За один ход разрешается к любым двум из них

Подсказка

Рассмотрите сумму чисел на доске, какая она сначала? как изменяется? Какая должна получиться в конце?

5, 6.
За один ход разрешается к любым двум из них

Решение

Сумма написанных чисел нечётна (она равна 21). За каждый ход эта сумма увеличивается на 2, т.е. всегда остаётся нечётной.
А сумма шести равных чисел всегда чётна. Это значит, что сделать числа равными невозможно.

5, 6.
За один ход разрешается к любым двум из них

Что являлось инвариантом?

Нечетность суммы написанных на доске чисел

фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких

фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких

Какие фишки могут меняться местами? С какими номерами? Используйте раскраску, если нужно

Подсказка

фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких

Занумеруем места, на которых стоят фишки, числами от 1 до 100. Заметим, что после выполнения данной в условии операции номер каждой фишки либо не изменился, либо изменился (увеличился или уменьшился) на 2.
Таким образом, фишка, стоящая вначале на месте с четным номером, в любой момент остается стоять на месте с четным номером.
Следовательно, фишка, стоящая на месте номером 100 никогда не сможет попасть на клетку с номером 1.

Решение

фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких

Что являлось инвариантом?

Четность номера конкретной фишки.

затем на 3 см в том же или в противоположном

Задача 3

см, затем на 3 см в том же или в

Как изменяется расстояние от лягушки до исходной точки?

Подсказка

см, затем на 3 см в том же или в

После каждого прыжка четность расстояния (в сантиметрах) между исходной точкой и той, где находится лягушка, меняется. Значит, после 57-го прыжка лягушка будет на нечетном расстоянии от исходной точки и не сможет в ней оказаться.

Решение

см, затем на 3 см в том же или в

Что являлось инвариантом?

Чередование четности расстояния от лягушки до исходной точки.

и 2017 минусов. Время от времени Юра подходит к доске,

и 2017 минусов. Время от времени Юра подходит к доске,

Как изменяется количество минусов на доске?

Подсказка

и 2017 минусов. Время от времени Юра подходит к доске,

Заметим, что после каждого действия Юры четность количества минусов не меняется, поэтому количество минусов не может сравняться с нулем. Значит, последним знаком мог оказаться только минус.

Решение

и 2017 минусов. Время от времени Юра подходит к доске,

Что являлось инвариантом?

Нечетность количества минусов

три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет

три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет

Как изменяется четность написанного числа?

Подсказка

три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет

Нет, не может. После того, как листок побывает в руках у богатыря, число, на нем написанное, будет менять свою четность, т.е. станет четным, если было нечетное, и наоборот. Это значит, что после 33-х изменений число станет нечетным, т.е. никак не сможет равняться 10.

Решение

три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет

Что являлось инвариантом?

Чередование четности полученного числа.