Перпендикулярность прямых и плоскостей

Содержание

1. Перпендикулярность прямых и плоскостей
2. СодержаниеПерпендикулярные прямые в пространствеЛеммаОпределение прямой, перпендикулярной к
3. Перпендикулярные прямые в пространствеДве прямые называются перпендикулярными,если угол между ними равен 90оаbса  bc  bα
4. Лемма Если одна из двух параллельных прямых
5. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она
6. Теорема 1Если одна из двух параллельных прямых
7. Теорема 2 αДоказать: а || b
8. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,
9. Чтобы установить перпендикулярность прямой и плоскости достаточно
10. Слайд 10
11. Признак перпендикулярности прямой и плоскостиЕсли прямая перпендикулярна
12. αqlmOapBPQДоказательство:Lа) частный случайA
13. αqapmOДоказательство:а) общий случайa1
14. Теорема 4Через любую точку пространства проходит прямая,
15. AOВДокажите, что АО СС350550420480
16. ABCD и ВMNС – два прямоугольника. Доказать: ВС (СDN) АВСDMN
17. ABCD – прямоугольник. В треугольнике ВСМ сторона
18. Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и
19. ВМOСЧерез точку О пресечения диагоналей параллелограмма АВСD
20. АМDЧерез вершину В квадрата АВСD проведена прямая
21. В треугольнике АВС сумма углов А и
22. DПрямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD,
23. СBADВ тетраэдре DABC точка М – середина
24. DААВСD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости
25. С Точка А принадлежит окружности, АК –
26. ВСАМ64D
27. АВС – равнобедренный треугольник, АВ =
28. АВСD – ромб, МD (ABC).Доказать:
29. ЗадачаНайти: MDАВDMРешение:Дано: ABC; MB  BC; MB  BA;MB = BD = aДоказать: МB  BDCaa
30. Задача 122Найти: AD; BD; AK; BK.АВDCOКРешение:1216
31. Перпендикуляр и наклонныеМАВНαМН  αА  αВ
32. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ
33. ПланиметрияСтереометрияОтрезок АН – перпендикулярТочка Н – основание
34. ПланиметрияСтереометрияРасстояние от точки до прямой – длина
35. Расстояние от лампочки до земли измеряется по
36. Если две плоскости параллельны, то все точки
37. Если прямая параллельна плоскости, то все точки
38. Если две прямые скрещиваются, то через каждую
39. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и
40. Теорема о трех перпендикулярахПрямая, проведенная в плоскости
41. Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярахПрямая, проведенная
42. Угол между прямой и плоскостьюАНαβаОφ
43. Скачать презентанцию

СодержаниеПерпендикулярные прямые в пространствеЛеммаОпределение прямой, перпендикулярной к плоскостиТеорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскостиТеорема о параллельности двух перпендикулярных прямых к плоскостиПризнак перпендикулярности прямой и плоскостиТеорема о существовании и единственности прямой,

Главная
Геометрия
Перпендикулярность прямых и плоскостей

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Перпендикулярность прямых и плоскостей

Слайд 2Содержание
Перпендикулярные прямые в пространстве
Лемма
Определение прямой, перпендикулярной к плоскости
Теорема о перпендикулярности

двух параллельных прямых к плоскости
Теорема о параллельности двух перпендикулярных прямых

к плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема о существовании и единственности прямой, перпендикулярной к данной плоскости
Перпендикуляр и наклонные
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
Угол между прямой и плоскостью

СодержаниеПерпендикулярные прямые в пространствеЛеммаОпределение прямой, перпендикулярной к плоскостиТеорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскостиТеорема о параллельности

Слайд 3Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними

равен 90о
а
b
с
а  b
c  b
α

Слайд 4Лемма
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей

прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
A
C
a
α
M
b
c
Дано: а

|| b, a  c

Доказать: b  c

Доказательство:

Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к

Слайд 5Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой

прямой, лежащей в этой плоскости
α
а
а  α

Слайд 6Теорема 1
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,

то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
α
х
Дано: а ||

а1; a  α

Доказать: а1  α

Доказательство:

Теорема 1Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой

Слайд 7Теорема 2
α
Доказать: а || b
Доказательство:
Если две прямые

перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Дано: а  α;

b  α

Теорема 2 αДоказать: а || b Доказательство:Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.Дано:

Слайд 8

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,

то она перпендикулярна к этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости



Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.Признак перпендикулярности

Слайд 9Чтобы установить перпендикулярность прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность лишь

к двум прямым, лежащим в плоскости.

Слайд 10

Слайд 11Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся

прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.
α
q
Доказать:

а  α

Доказательство:

Дано: а  p; a  q;
pα; qα
p ∩ q = O

Признак перпендикулярности прямой и плоскостиЕсли прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна

Слайд 12α
q
l
m
O
a
p
B
P
Q
Доказательство:
L
а) частный случай
A

Слайд 13α
q
a
p
m
O
Доказательство:
а) общий случай
a1

Слайд 14Теорема 4
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной

плоскости, и притом только одна.
α
а
М
b
с
Доказать:
1) ∃ с,

с  α, М с;
2) с – !

Доказательство:

Дано: α; М α

Теорема 4Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. αаМbсДоказать:

Слайд 15A
O
В
Докажите, что АО
С
С
350
550
420
480

Слайд 16ABCD и ВMNС – два прямоугольника.
Доказать: ВС

(СDN)
А
В
С
D
M
N

Слайд 17ABCD – прямоугольник.
В треугольнике ВСМ сторона ВС = 6,

СМ = 8, ВМ = 10.
Доказать: ВС

(СDМ)

ABCD – прямоугольник. В треугольнике ВСМ сторона ВС = 6, СМ = 8, ВМ = 10. Доказать:

Слайд 18Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС.

Определите вид треугольника МВD, где D – произвольная точка прямой

АС.

№126.

Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника МВD, где D –

Слайд 19В
М
O
С
Через точку О пресечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ

так, что МА = МС, МВ = МD. Докажите, что

прямая МО перпендикулярна плоскости параллелограмма.

№128.

ВМOСЧерез точку О пресечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, что МА = МС, МВ =

Слайд 20А
М
D
Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что

МВА = МВС = 900; МВ =

m, АВ = n. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата;
б) прямых ВD и АС.

№130.

АМDЧерез вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что МВА = МВС =

Слайд 21В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 900.

Прямая ВD перпендикулярна к плоскости АВС.
Докажите, что СD

АС.

№127.

В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 900. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости АВС. Докажите,

Слайд 22D
Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD, диагонали которого пересекаются

в точке О.
Докажите: а) ВD АМО,

б) МО ВD.

№129.

DПрямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите: а) ВD

Слайд 23С
B
A
D
В тетраэдре DABC точка М – середина BС, АB =

АС, DВ = DC.
Докажите, что плоскость треугольника АDМ перпендикулярна к

прямой ВС.

№131.

СBADВ тетраэдре DABC точка М – середина BС, АB = АС, DВ = DC.Докажите, что плоскость треугольника

Слайд 24D
А
АВСD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости АВС.

ВЕ = 15, ЕС = 24, ЕD =

20. Докажите, что треугольник ЕDС прямоугольный и найдите АЕ.

DААВСD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости АВС. ВЕ = 15, ЕС =

Слайд 25С
Точка А принадлежит окружности, АК – перпендикуляр к ее

плоскости, АК = 1 см, АВ – диаметр, ВС –

хорда окружности, составляющая с АВ угол 450. Радиус окружности равен 2 см. Докажите, что треугольник КСВ прямоугольный, и найдите КС.

450

С Точка А принадлежит окружности, АК – перпендикуляр к ее плоскости, АК = 1 см, АВ –

Слайд 26В
С
А
М
6
4
D

Слайд 27АВС – равнобедренный треугольник, АВ = АС, точка D

– середина ВС, ЕD (ABC).
Доказать: 1) ВС

(АDЕ), 2) ВС АЕ.

АВС – равнобедренный треугольник, АВ = АС, точка D – середина ВС, ЕD (ABC).Доказать:

Слайд 28АВСD – ромб, МD (ABC).
Доказать: 1) AС

(BMD), 2) AС MB.
D
С
А
B

Слайд 29Задача
Найти: MD
А
В
D
M
Решение:
Дано: ABC;
MB  BC; MB  BA;
MB =

BD = a
Доказать: МB  BD
C
a
a

Слайд 30Задача 122
Найти: AD; BD; AK; BK.
А
В
D
C
O
К
Решение:
12
16

Слайд 31Перпендикуляр и наклонные
М
А
В
Н
α
МН  α
А  α
В  α
МА и

МВ – наклонные
Н  α
АН и ВН – проекции
наклонных
МН –

перпендикуляр

М  α

Слайд 32РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Слайд 33Планиметрия
Стереометрия
Отрезок АН – перпендикуляр
Точка Н – основание перпендикуляра
Отрезок АМ –

наклонная
Точка М – основание наклонной
А
а
А
Отрезок МН – проекция
наклонной

на прямую а

ПланиметрияСтереометрияОтрезок АН – перпендикулярТочка Н – основание перпендикуляраОтрезок АМ – наклоннаяТочка М – основание наклонной АаАОтрезок МН

Слайд 34Планиметрия
Стереометрия
Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра
А
а
А
Расстояние от точки

до плоскости – длина перпендикуляра
Из всех расстояний от точки А

до различных точек прямой а наименьшим является длина перпендикуляра.

ПланиметрияСтереометрияРасстояние от точки до прямой – длина перпендикуляраАаАРасстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляраИз всех расстояний

Слайд 35Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от

лампочки к плоскости земли
Н а к л о н

н а я

Н а к л о н н а я

П
Е
Р
П
Е
Н
Д
И
К
У
Л
Я
Р

Проекция

Слайд 36Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены

от другой плоскости.
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей

до другой плоскости называется
расстоянием между параллельными плоскостями.

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.Расстояние от произвольной точки одной

Слайд 37Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от

этой плоскости.
a
Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием

между прямой и параллельной ей плоскостью.

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.aРасстояние от произвольной точки прямой до

Слайд 38Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит

плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
a
Расстояние между

одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только

Слайд 39Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через

другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
Отрезок, имеющий

концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к этим прямым, называется их общим перпендикуляром.
На рисунке АВ – общий перпендикуляр.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между

Слайд 40Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной

перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой

наклонной.

Дано: а  α, АН  α,
АМ – наклонная,
а  НМ, М  а

Доказать: а  АМ

Доказательство:

Теорема о трех перпендикулярахПрямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость,

Слайд 41Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через

основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
А
Н
М
α
а
Дано:

а  α, АН  α,
АМ – наклонная,
а  АМ, М  а

Доказать: а  НМ

Доказательство:

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярахПрямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и

Слайд 42Угол между прямой и плоскостью
А
Н
α
β
а
О
φ

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Перпендикулярность прямых и плоскостей

Слайд 2СодержаниеПерпендикулярные прямые в пространствеЛеммаОпределение прямой, перпендикулярной к плоскостиТеорема о перпендикулярности

двух параллельных прямых к плоскостиТеорема о параллельности двух перпендикулярных прямых

Слайд 3Перпендикулярные прямые в пространствеДве прямые называются перпендикулярными,если угол между ними

равен 90оаbса  bc  bα

Слайд 4Лемма Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей

прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.ACaαMbcДано: а

Слайд 5Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой

прямой, лежащей в этой плоскостиαаа  α

Слайд 6Теорема 1Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,

то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.αхДано: а ||

Слайд 7Теорема 2 αДоказать: а || b Доказательство:Если две прямые

перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.Дано: а  α;

Слайд 8Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,

то она перпендикулярна к этой плоскости.Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Слайд 9Чтобы установить перпендикулярность прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность лишь

к двум прямым, лежащим в плоскости.

Слайд 10

Слайд 11Признак перпендикулярности прямой и плоскостиЕсли прямая перпендикулярна к двум пересекающимся

прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.αqДоказать:

Слайд 12αqlmOapBPQДоказательство:Lа) частный случайA

Слайд 13αqapmOДоказательство:а) общий случайa1

Слайд 14Теорема 4Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной

плоскости, и притом только одна. αаМbсДоказать: 1) ∃ с,

Слайд 15AOВДокажите, что АО СС350550420480

Слайд 16ABCD и ВMNС – два прямоугольника. Доказать: ВС

(СDN) АВСDMN

Слайд 17ABCD – прямоугольник. В треугольнике ВСМ сторона ВС = 6,

СМ = 8, ВМ = 10. Доказать: ВС

Слайд 18Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС.

Определите вид треугольника МВD, где D – произвольная точка прямой

Слайд 19ВМOСЧерез точку О пресечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ

так, что МА = МС, МВ = МD. Докажите, что

Слайд 20АМDЧерез вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что

МВА = МВС = 900; МВ =

Слайд 21В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 900.

Прямая ВD перпендикулярна к плоскости АВС. Докажите, что СD

Слайд 22DПрямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD, диагонали которого пересекаются

в точке О. Докажите: а) ВD АМО,

Слайд 23СBADВ тетраэдре DABC точка М – середина BС, АB =

АС, DВ = DC.Докажите, что плоскость треугольника АDМ перпендикулярна к

Слайд 24DААВСD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости АВС.

ВЕ = 15, ЕС = 24, ЕD =

Слайд 25С Точка А принадлежит окружности, АК – перпендикуляр к ее

плоскости, АК = 1 см, АВ – диаметр, ВС –

Слайд 26ВСАМ64D

Слайд 27АВС – равнобедренный треугольник, АВ = АС, точка D

– середина ВС, ЕD (ABC).Доказать: 1) ВС

Слайд 28АВСD – ромб, МD (ABC).Доказать: 1) AС

(BMD), 2) AС MB. DСАB

Слайд 29ЗадачаНайти: MDАВDMРешение:Дано: ABC; MB  BC; MB  BA;MB =

BD = aДоказать: МB  BDCaa

Слайд 30Задача 122Найти: AD; BD; AK; BK.АВDCOКРешение:1216

Слайд 31Перпендикуляр и наклонныеМАВНαМН  αА  αВ  αМА и

МВ – наклонныеН  αАН и ВН – проекциинаклонныхМН –

Слайд 32РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Слайд 33ПланиметрияСтереометрияОтрезок АН – перпендикулярТочка Н – основание перпендикуляраОтрезок АМ –

наклоннаяТочка М – основание наклонной АаАОтрезок МН – проекция наклонной

Слайд 34ПланиметрияСтереометрияРасстояние от точки до прямой – длина перпендикуляраАаАРасстояние от точки

до плоскости – длина перпендикуляраИз всех расстояний от точки А

Слайд 35Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от

лампочки к плоскости земли Н а к л о н

Слайд 36Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены

от другой плоскости.Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей

Слайд 37Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от

этой плоскости.aРасстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием

Слайд 38Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит

плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. aРасстояние между

Слайд 39Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через

другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.Отрезок, имеющий

Слайд 40Теорема о трех перпендикулярахПрямая, проведенная в плоскости через основание наклонной

перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой

Слайд 41Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярахПрямая, проведенная в плоскости через

основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.АНМαаДано:

Слайд 42Угол между прямой и плоскостьюАНαβаОφ

Похожие презентации

Слайд 2Содержание
Перпендикулярные прямые в пространстве
Лемма
Определение прямой, перпендикулярной к плоскости
Теорема о перпендикулярности

двух параллельных прямых к плоскости
Теорема о параллельности двух перпендикулярных прямых

Слайд 3Перпендикулярные прямые в пространстве
Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними

равен 90о
а
b
с
а  b
c  b
α

Слайд 4Лемма
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей

прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
A
C
a
α
M
b
c
Дано: а

прямой, лежащей в этой плоскости
α
а
а  α

Слайд 6Теорема 1
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,

то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
α
х
Дано: а ||

Слайд 7Теорема 2
α
Доказать: а || b
Доказательство:
Если две прямые

перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Дано: а  α;

Слайд 8

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,

то она перпендикулярна к этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости



Слайд 11Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся

прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.
α
q
Доказать:

Слайд 12α
q
l
m
O
a
p
B
P
Q
Доказательство:
L
а) частный случай
A

Слайд 13α
q
a
p
m
O
Доказательство:
а) общий случай
a1

Слайд 14Теорема 4
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной

плоскости, и притом только одна.
α
а
М
b
с
Доказать:
1) ∃ с,

Слайд 15A
O
В
Докажите, что АО
С
С
350
550
420
480

Слайд 16ABCD и ВMNС – два прямоугольника.
Доказать: ВС

(СDN)
А
В
С
D
M
N

Слайд 17ABCD – прямоугольник.
В треугольнике ВСМ сторона ВС = 6,

СМ = 8, ВМ = 10.
Доказать: ВС

Слайд 19В
М
O
С
Через точку О пресечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ

Слайд 20А
М
D
Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что

Прямая ВD перпендикулярна к плоскости АВС.
Докажите, что СD

Слайд 22D
Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD, диагонали которого пересекаются

в точке О.
Докажите: а) ВD АМО,

Слайд 23С
B
A
D
В тетраэдре DABC точка М – середина BС, АB =

АС, DВ = DC.
Докажите, что плоскость треугольника АDМ перпендикулярна к

Слайд 24D
А
АВСD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости АВС.

Слайд 25С
Точка А принадлежит окружности, АК – перпендикуляр к ее

Слайд 26В
С
А
М
6
4
D

– середина ВС, ЕD (ABC).
Доказать: 1) ВС

Слайд 28АВСD – ромб, МD (ABC).
Доказать: 1) AС

(BMD), 2) AС MB.
D
С
А
B

Слайд 29Задача
Найти: MD
А
В
D
M
Решение:
Дано: ABC;
MB  BC; MB  BA;
MB =

BD = a
Доказать: МB  BD
C
a
a

Слайд 30Задача 122
Найти: AD; BD; AK; BK.
А
В
D
C
O
К
Решение:
12
16

Слайд 31Перпендикуляр и наклонные
М
А
В
Н
α
МН  α
А  α
В  α
МА и

МВ – наклонные
Н  α
АН и ВН – проекции
наклонных
МН –

Слайд 33Планиметрия
Стереометрия
Отрезок АН – перпендикуляр
Точка Н – основание перпендикуляра
Отрезок АМ –

наклонная
Точка М – основание наклонной
А
а
А
Отрезок МН – проекция
наклонной

Слайд 34Планиметрия
Стереометрия
Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра
А
а
А
Расстояние от точки

до плоскости – длина перпендикуляра
Из всех расстояний от точки А

лампочки к плоскости земли
Н а к л о н

от другой плоскости.
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей

этой плоскости.
a
Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием

плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
a
Расстояние между

другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
Отрезок, имеющий

Слайд 40Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной

Слайд 41Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через

основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
А
Н
М
α
а
Дано:

Слайд 42Угол между прямой и плоскостью
А
Н
α
β
а
О
φ