Определение напряжений на различных площадках

образом, чтобы его грани совпадали с координатными плоскостями, рассечем наклонной

плоскостью

l, m, n. На наклонной площадке площадью dF действует полное

напряжение Р с проекциями по осям Рх, Ру, Рz. Пусть нормальные и касательные напряжения на гранях, совпадающих с координатными плоскостями, известны. Необходимо найти нормальное и касательное напряжение на наклонной площадке -  и . Площадки, отсекаемые на координатных плоскостях, будут иметь площади:
 
dFx = dFl, dFy = dFm, dFz = dFn.

Х = 0,
PxdF - xdFx - yxdFy - zxdFz = 0,
PxdF - xdFl - yxdFm - zxdFn = 0,
Px = xl + yxm + zxn.
Аналогично, составляя уравнения равновесия сил на оси Y и Z
Py = xyl +ym + zyn,
Pz = xzl + yzm +zn.

напряжения на нормаль.






 = Pxl + Pym + Pzn =
=(xl

+ yxm + zxn)l + (xyl +ym + zyn)m +
+ (xzl + yzm +zn)n =
= xl2 + yxml + zxnl + xylm +ym2 + zynm + xzln + yzmn +zn2



Px

Py

Pz

zx= xz), получаем основную квадратичную форму нормальных напряжений:

 = xl2

+ ym2 +zn2 + 2yxml + 2zxnl + 2zynm

Полученное выражение позволяет определить нормальное напряжение на любой наклонной площадке, поскольку при выводе этого выражения никаких ограничений на положение площадки не накладывалось. Теперь найдем величину касательного напряжения на наклонной площадке:

Р2 = Px2 + Pу2+ Pz2 = 2 + 2,
2= Px2 + Pу2+ Pz2 - 2.

положения, то есть от направляющих косинусов l, m, n.
Площадки,

на которых касательные напряжения равны нулю и действуют только нормальные напряжения, называются главными. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями.
Предположим, что наклонная площадка с направляющими косинусами l, m, n является главной, то есть вектор нормали к наклонной площадке совпадает с вектором полного напряжения. Тогда нормальное напряжение на этой площадке равно полному напряжению, а касательное напряжение равно нулю.

является главной, то есть вектор нормали к наклонной площадке совпадает

с вектором полного напряжения (=0).








Px = l, Pу = m, Pz = n.

= l,
Pу = xyl + ym + zyn = m,

Pz = xzl + yzm + zn = n.
В данных уравнениях четыре неизвестных (направляющие косинусы l, m, n и главное напряжение ), поэтому необходимо четвертое уравнение:

(x - )l + yxm + zxn = 0
xyl + (y - )m + zyn = 0
xzl + yzm + (z - )n = 0
l2 + m2 + n2 = 1

уравнения системы), когда равен нулю главный определитель системы:

x -  yx zx
xy y -  zy = 0
xz yz z - 


Раскроем определитель
 (x - )(y - )(z - ) + yxzyxz + xyyzzx - xz(y - )zx - xyyx(z - ) - yzzy(x - ) = 0.

y + z) - (yz + xz + xу -

xz2 - xу2 - уz2) + (xyz + 2xyyzzx - yxz2 - zxу2 - - хуz2) = 0.
 
Запишем это уравнение в более компактной форме
 3 – I12 + I2 – I3 = 0
где I1 = x + y + z,
I2 = yz + xz + xу - xz2 - xу2 - уz2,
I3 = xyz + 2xyyzzx - yxz2 - zxу2 - хуz2

в точке являются физической характеристикой, то они не зависят от

выбора системы координат, а, следовательно, и значения инвариантов также не зависят от выбора системы координат.
Решая кубическое уравнение, получим три вещественных корня – три главных напряжения, которые нумеруются в порядке убывания: 1  2  3. Подставляя величину главного напряжения в систему, можно определить положение главной площадки, т.е. определить ее направляющие косинусы. Три главных площадки в точке взаимно перпендикулярны.

отлично от нуля.

Плоское (двухосное) напряженное состояние
I10, I20, I3=0, следовательно два

главных напряжения отлично от нуля.

Чистый сдвиг (частный случай плоского)
I1=0, I20, I3=0, следовательно два главных напряжения отлично от нуля (причем 1 =-3).

Линейное (одноосное) напряженное состояние
I10, I2=0, I3=0, следовательно одно главное напряжение отлично от нуля.

3n
Р2 = Pх2+ Pу2 + Pz2 = 12l2 + 22m2

+ 32n2

2m2 + 3n2
2 +

2 = 12l2 + 22m2 + 32n2
1 = l2 + m2 + n2

Умножим каждое уравнение на произвольные множители a, b, c и сложим, сгруппировав при этом слагаемые по направляющим косинусам

 а + b(2 + 2) + с =
= l2(а1 + b12 + с) + m 2(а2 + b22 + с) + +n2(а3 + b32 + с)

Круговая диаграмма позволяет установить экстремальные свойства нормальных и касательных напряжений.