Функции и их графики

обратной функции
Непрерывность
Элементарные функции
Введение

нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объём, массу,

температуру, время и т. д. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения, у других эти значения переменные. Такие величины соответственно называются постоянными и переменными.
Математика изучает зависимость между переменными в процессе их изменения. Например, при изменении радиуса круга меняется и его площадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в зависимости от изменения его радиуса.
Математическим выражением взаимной связи реальных величин является идея функциональной зависимости. Понятие функции – важнейшее понятие математики. Слово «функция» (от латинского «Functio» - исполнение обязанностей, деятельность) впервые ввел немецкий ученый Г. Лейбниц.

Введение

на главную

а x и y – соответственно их элементы. Если каждому

x∈D (x принадлежит множеству D) ставится, в соответствии с некоторым законом, только одно значение y∈E, то говорят, что между переменными x и y существует функциональная зависимость, и x называют независимой переменной (или аргументом), а y – зависимой переменной (или функцией).
Символическая запись функции: y = f(x) (x∈D, y∈E). Множество D называют областью определения функции и обозначают D(f), а множество E называют областью изменения функции – E(f). Говорят еще, что функция f отображает множество D на множестве E.

на главную

если для любого значения x, взятого из области определения функции,

значение –x также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x).
Примеры четных функций:
y = x2; y = x2 + 5; y = -3x2 + 1; y = ½x½; y = 3.
(y = x2; y(1) = 12 = 1; y(-1) = (-1)2 = 1; y(1) = y(-1)).
 
Согласно определению, четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат.
График четной функции симметричен относительно оси ординат:

y

x

O

x0

- x0

назад

далее

любого значения x, взятого из области определения функции, значение –x

также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x).
Примеры нечетных функций:
y = x3; y = x3 + x.
(y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

f(-x0)

O

y = f(x)

далее

назад

только правую ветвь графика для положительных значений аргумента. Левая ветвь

достраивается симметрично относительно начала координат для нечетной функции и относительно оси ординат для четной функции.
Произведение двух четных или двух нечетных функций представляет собой четную функцию, а произведение четной и нечетной функций – нечетную функцию.
Конечно, большинство функций не являются ни четными, ни нечетными.
Пример:
y = x3 + x2
y(-1) = (-1)3 + (-1)2 = -1 + 1 = 0
y(1) = (1)3 + (1)2 = 1 + 1 = 2

назад

такое число T≠0, что для любого значения x, взятого из

области определения, значения x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство
f(x) = f(x + T) = f(x – T):

y

1

2

4

3

-1

T

y = f(x)

далее

назад

бесконечное число периодов.В самом деле, числа вида nT при любом

целом n также являются периодом функции f(x), так как f(x + nT) = f(x + (n - 1)T + T) = f(x + (n – 1)T) = f(x + (n - 2)T + T) = f(x + (n - 2)T) = … = f(x).
Иногда периодом называют наименьшее их всех чисел T > 0, удовлетворяющее данному выше определению. Примеры периодических функций:
y = sin x; y = ctg x; y = sin3x.
Периодической является и всякая постоянная функция, причем ее периодом служит любое ненулевое число. Например: y = 2; y = 10.

назад

котором значение функции равно нулю.
назад
Для того, чтобы найти нули

функции, следует решить уравнение f(x) = 0. Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x), и обратно. Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс, либо касается ее, либо имеет общую точку с этой осью.

х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства.
Над

этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, если f(x) > 0, и ниже оси абсцисс, если f(x) < 0.

назад

увеличивается, и монотонно убывающей, если с увеличением аргумента значение функции

уменьшается.

y = f(x)

далее

назад

(a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому

интервалу, из неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) > f(x1). Функция y = f(x) называется монотонно убывающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) < f(x1). Интервал (a, b) предполагает взятым из области определения функции.

назад

точке области определения, называется обратимой. Таким образом, при k≠0 функция

f(x) = kx + b обратима, а функция f(x) = x2 не является обратимой.
Если между величинами х и у существует функциональная зависимость, то, вообще говоря, безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую – функцией.
Пусть задана функция y = f(x), где y является зависимой переменной, x – аргументом. Очевидно, в этом случае x и y можно поменять ролями, т. е. x будет функцией, а y – аргументом. Тогда рассматриваемая функциональная зависимость между x и y запишется так: x = Y(y). Функция x = Y(y) называется обратной по отношению к функции y = f(x).

на главную

y

x

O

1

-1

−π

π

π/2

−π/2

y = sin x

точкой максимума (точкой минимума) для функции f(x), если значение в

этой точке больше (меньше), чем значение функции в ближайших соседних точках.
для обозначения максимума и минимума существует общий термин «экстремум» (от латинского «крайний»).

далее

на главную

b]. Говорят, что функция имеет максимум в точке x0∈ [a;

b], если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Под окрестностью точки x0 понимают интервал длины 2e с центром в точке x0, т. е. (x0 – e ; x0 + e), где e – произвольное положительное число.

далее

назад

[a; b]. Говорят, что функция имеет минимум в точке x0∈

[a; b], если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0).
Максимумы и минимумы функции не являются обязательно наибольшими и наименьшими значениями этой функции во всей области определения. Например, функция y = f(x) определена на отрезке [a; b], имеет четыре экстремума: два минимума (x = C1 и x = C3) и два максимума (x = C2 и x = C4). Вместе с тем, функция достигает наибольшего значения при x = a и наименьшего при x = b.
Признак максимума функции:
Если функция непрерывна в точке x0
и ее производная, переходя через нее,
меняет знак с плюса на минус,
то x0 есть точка максимума.
Признак минимума функции:
Если функция непрерывна в точке x0
и ее производная, переходя через нее,
меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка
минимума.

назад

она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке

промежутка.
Геометрическая непрерывность функции на промежутке означает, что график этой функции на данном промежутке изображен сплошной линией без скачков и разрывов. При этом малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции.
Если при x = a функция y = f(x) существует в окрестности этой точки, но в самой точке x = a не выполняется условие непрерывности, говорят, что точка x = a есть точка разрыва функции. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать.

на главную

k и b некоторые числа, называется линейной функцией.

1. Если

k = 0, тогда y = b.
Эта функция определена на множестве R и для каждого X принимает одно и то же значение, равное b.
Графиком является прямая, параллельная оси Оx и отстоящая от нее на ⏐b⏐ единиц вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0; если b = 0, то прямая совпадает с осью Ox.

далее

назад

функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью. Она определена

на множестве R. Функция является монотонно возрастающей, если k > 0, и монотонно убывающей, если k < 0. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. При k > 0 точки графика принадлежат I и III координатным четвертям. При k < 0 точки графика принадлежат II и IV координатным четвертям.

O

y

x

y = kx
k < 0

назад

далее

y = kx + b.
Функция определена на множестве всех

действительных чисел. Функция имеет единственный нуль в точке x = -b/k (т. е. график функции пересекает ось Ох в единственной точке (-b/k; 0). Функция является монотонно возрастающей при k > 0 и монотонно убывающей при k < 0.

назад

далее

kx + b, имеют наглядное геометрическое толкование. Значение коэффициента b

определяет отрезок, отсекаемый графиком линейной функции на оси ординат, а коэффициент k определяет тангенс угла α, образованного осью абсцисс и прямой; угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Если k > 0, то образованный угол острый, если k < 0, то угол тупой.

назад

называется обратной пропорциональностью.
Область определения этой функции совпадает с ее

областью значений и представляет собой объединение двух промежутков: (-∞; 0) ∪ (0; + ∞).
Функция не имеет нулей, так как уравнение k/x = 0 не имеет корней.
Если k > 0 , то функция монотонно убывает на всей области определения. Если k < 0, то функция монотонно возрастает на всей области определения функции.

далее

назад

y = k / x
k > 0

y = k / x
k < 0

0 и x < 0 называются ветвями гиперболы.
назад

c, где a, b,c – некоторые числа, a ≠ 0,

называется квадратичной.

1. Функция вида y = x2 – простейшая квадратичная функция. Это четная функция, у которой D = (-∞; + ∞), а E = [0; + ∞). При x > 0 она возрастающая, а при x < 0 - убывающая. Ее график называется параболой. График проходит через начало координат, симметричен относительно оси ординат, ветви параболы направлены вверх.

назад

далее

определенная для всех действительных x. Ее график также парабола, проходящая

через начало координат и симметричная относительно оси ординат. Но при a > 0 ветви ее направлены вверх и E = [0; + ∞), а при a < 0 ветви направлены вниз и E = (-∞; 0). Чем меньше абсолютная величина a, тем дальше отходят ветви параболы от оси ординат, тем «шире» она. Чем больше абсолютная величина a, тем плотнее ветви параболы прижаты к оси ординат, тем «уже» она.

назад

далее

+ c также четная, неограниченная, определенная для всех действительных x.

Ее график – парабола, симметричная относительно прямой x = x0 (x0 – абсцисса вершины параболы), параллельной оси ординат. Если a > 0, то ее ветви направлены вверх и E = [y0; + ∞) или вниз при a < 0 и тогда E = (-∞; y0), где y0 – ордината вершины параболы. Только вершина этой параболы находится не в начале координат, а в точке (-b / 2a; (4ac- b2) / 4a). Парабола пересекает ось ординат в точке (0; c). Если дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c отрицательный, т. е. B2 – 4ac < 0, то график функции y = ax2 + bx + c не пересекает ось абсцисс.

назад

далее

y = ax2 + bx +c
a < 0

точке (-b / 2a; 0). Если дискриминант положительный, то парабола

пересекает ось абсцисс в двух точках, являющихся корнями уравнения 0= ax2 + bx + c.

назад

степенной.

1. При n, равном 1; 2; -1, имеем соответственно

функции y = x, y = x2; y = -1 / x, уже рассмотренные ранее.
2. Если n – число целое и четное, то функция y = xn – четная; при нечетном n она нечетная. При положительных n эта функция определена для всех действительных значений аргумента x, при отрицательных n она определена для всех x, кроме x = 0.
При любом n ≠ 0 степенная функция неограниченная, график каждой из них проходит через точку (1; 1).
Если n – число иррациональное, то функция y = xn определена только для положительных значений аргумента x или для неотрицательных x, если n > 0.

назад

a > 0, a ≠ 1, называется показательной.
Эта

функция определена для любых действительных x, а областью значений является промежуток (0; + ∞).
График показательной функции – кривая, проходящая через точку (0; 1). Он неограниченно приближается к оси абсцисс, но не достигает ее.
При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно убывает.

назад

0, a ≠ 1, называется логарифмической.
Эта функция определена на

промежутке (0; + ∞), а областью значений является промежуток (-∞; + ∞).
Графиком логарифмической функции является кривая, проходящая через точку (1; 0). Он неограниченно приближается к оси ординат, но не достигает ее. При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно убывает.

y = logax
a > 1

O

y

x

1

O

y

x

1

y = logax
0 < a < 1

назад

формулой y = sin x, называется синусом.

Функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена ⏐sin x⏐≤ 1. Она периодическая, ее период T = 2πn, n ∈ Z: sin( x + 2πn) = sin x, n ∈ Z. Функция y = sin x – нечетная: sin (-x) = -sin x ее график симметричен относительно начала координат. График этой функции называется синусоидой.
Функция принимает нулевые значения
При х = πn, n ∈ Z.
Функция y = sin x возрастает
на промежутках
[-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], n ∈ Z
и убывает на промежутках
[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n ∈ Z

далее

назад

x, называется косинусом.
Функция определена и непрерывна на

всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена ⏐cos x⏐≤ 1. Она периодическая, ее период T = 2πn, n ∈ Z: cos( x + 2πn) = cos x, n ∈ Z. Функция y = cos x – четная: cos (-x) = cos x ее график симметричен относительно оси ординат. График этой функции называется косинусоидой.
Функция принимает нулевые значения
при х = π/2 + πn, n ∈ Z.
Функция y = cos x возрастает
на промежутках
[π + 2πn; 2π + 2πn], n ∈ Z
и убывает на промежутках
[2πn; π + 2πn], n ∈ Z

y

x

O

1

-1

−π

π

π/2

−π/2

y = cos x

5π/2

T = 2π

3π/2

2π

назад

далее

x, называется тангенсом.
Функция определена при x ≠

π/2 + πn, n ∈ Z. Ее областью значений является интервал (-∞; + ∞). Она периодическая, ее период T = πn, n ∈ Z: tg( x + πn) = tg x, n ∈ Z. Функция y = tg x – нечетная: tg (-x) = -tg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x = π/2 + πn, n ∈ Z функция y = tg x не существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График этой функции называется тангенсоидой.
Функция принимает нулевые значения при х = πn, n ∈ Z. Функция y = tg x возрастает на всех интервалах определения (-π/2 + πn; π/2 + πn), n ∈ Z.

назад

далее

x, называется котангенсом.
Функция определена при x ≠

πn, n ∈ Z. Ее областью значений является интервал (-∞; + ∞). Она периодическая, ее период T = πn, n ∈ Z: ctg( x + πn) = ctg x, n ∈ Z. Функция y = ctg x – нечетная: ctg (-x) = -ctg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x = πn, n ∈ Z функция y = ctg x не существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График этой функции называется котангенсоидой.
Функция принимает нулевые значения при х = π/2 + πn, n ∈ Z. Функция y = ctg x убывает на всех интервалах определения (2πn; π + πn), n ∈ Z.

y

x

O

1

-1

π/2

−π/2

y = сtg x

π

3π/2

−π

назад